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Chemischer
Gleichgewichtsrechner

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PDF-Methoden

 

Der Modellierung turbulenter, reagierender Strömungen mit Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (RANS) liegt immer die Vernachlässigung höherer Momente zugrunde. Obwohl die Erfahrung zeigt, dass diese Vernachlässigung in vielen Fällen gerechtfertigt scheint, sind gerade für den Fall der reagierenden Strömungen, aufgrund der stark nichtlineare Kopplung von Energie- und Stofftransport mit der chemischen Reaktion diese Momente in der Regel nicht zu vernachlässigen.

Dieser Problematik begegnet man bei Verwendung von PDF-Modellen dadurch, dass die statistische Verteilung (PDF) und damit - im Idealfall - auch alle auftretenden Momente der zu beschreibenden Größen, explizit beschrieben wird. Die Komplexität des Problems bestimmt dabei idealerweise die Dimensionalität der zu bestimmenden Verbundwahrscheinlichkeit („joint-pdf", JPDF). Im atmosphärischen Fall und bei einer zugrundeliegenden 3-dimensionalen Strömung mit N Stoffkomponenten sowie der Temperatur der Mischung müsste dabei eine N+3+1 dimensionale JPDF bestimmt werden.

Der dafür erforderliche Aufwand ist auch mit heutigen Rechnerkapazitäten nur für vergleichsweise einfache Konfigurationen möglich. Aus diesem Grund werden die zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichungen (sog. Transportgleichungen) für die numerische Simulation vereinfacht und dadurch einer Lösung zugänglich gemacht.

Eine erste Vereinfachung der Problemstellung besteht darin, die Transportterme (abhängig von den drei Geschwindigkeitskomponenten und deren Korrelationen) zwar weiterhin durch Reynolds-gemittelte Gleichungen, die sog. RANS (Reynolds-averaged Navier-Stokes")-Gleichungen zu beschreiben, aber die - aufgrund deren chemischer Quellterme in viel stärkerem Maße nichtlinear gekoppelten - Stofftransportgleichungen unter Einbeziehung Verbundwahrscheinlichkeit von Konzentrationen und Temperaturen statistisch detailliert zu lösen.

Diese - weiterhin äußerst komplexen - Gleichungssysteme werden in der Regel mit der mathematische Methode der Monte-Carlo-Simulation gelöst. Grundprinzip dabei ist es, die Verbundwahrscheinlichkeit durch eine Vielzahl sog. statistischer Samples nach zu bilden und die Lösung der partiellen DGLen für jedes dieser Samples jeweils separat durchzuführen. Ein statistisches Sample besteht dabei aus einer Realisierung der Kombination von Stoffkonzentrationen und Temperatur. Die vielfache Lösung der Gleichungen für die statistischen Sample führt dann zu einer neuen statistischen Darstellung des Problems.

Um den Aufwand der oben beschriebenen Methoden für industrielle Anwendungen weiter einzugrenzen, kommen häufig auch Modelle zum Einsatz, die auf der Verwendung einer angenommenen prinzipiellen Form der PDF basieren (sog. „presumed-pdf"-Modelle). Auch hierbei werden üblicherweise für die Geschwindigkeitskomponenten und turbulenten Austauschterme konventionelle RANS gelöst. Zusätzlich werden auch für je eine begrenzte Anzahl von statistischen Momenten der Stoffkonzentrationen und der Temperatur Reynolds-gemittelte Gleichungen gelöst. Abhängig von dem zu beschreibenden thermischen und stofflichen System können als weitere Vereinfachung auch das Problem weiter vereinfachende, zusammengesetzte Größen wie Mischungsbruch, Ausbrandgrad oder normierte Temperatur anstatt der Stoffkonzentrationen und der Temperatur für die Beschreibung des thermischen und stofflichen Zustands Verwendung finden (siehe Abbildung, unten).

Die Kopplung der einzelnen Reynolds-gemittelten Gleichungen ist mit dem stark nichtlinearen, chemisch-reaktiven Quellterm gegeben. Zur Bestimmung der Quellterme der Gleichungen für die statistischen Momente ist daher die Kenntnis einer Vielzahl unbekannter höherer Korrelationen erforderlich. Um nun für die Bestimmung der JPDF gezieltere Annahmen als die pure Vernachlässigung höherer Korrelationen treffen zu können, wird bei der "presumed pdf"-Methode unter Vorgabe einer angenommenen Form der Verteilung (z. B. Beta- oder Clipped-Gaussian-Verteilung) und nach Maßgabe der mit Transportgleichungen berechneten Momente der Einzel-PDF die Verbundwahrscheinlichkeitsverteilung konstruiert (siehe Abbildung, unten).


Abb. 1: Konstruktion einer Verbundwahrscheinlichkeit (jpdf) von Temperatur und Mischungsbruch

Die Problemstellung besteht bei dieser Methodik also darin, aus den mit Reynolds-gemittelten Transportgleichungen ermittelten statistischen Momenten der Einflußgrößen (hier: Temperatur und Mischungsbruch) die Verbundwahrscheinlichkeit und damit auch die statistischen Momente der chemischen Quellterme zu berechnen. In Abbildung 2 ist z.B. links und rechts oben eine Verbundwahrscheinlichkeit von Mischungsbruch und normierter Temperatur, links unten der vereinfachte Zusammenhang zwischen den Einflußgrößen und dem chemischen Quellterm sowie die sich daraus ergebende Verbundwahrscheinlichkeit der Abbaurate von CH4 an einem Ort in einer Methan-Diffusionsflamme zu sehen.